El flujo del vector densidad de corriente que atraviesa un hilo conductor modelizado con un cilindro de sección transversal “S” o A (figura 1), se llama intensidad de corriente eléctrica I y se expresa matemáticamente, como sigue,
I = \int \int \vec{j} \bullet d \vec{s}
Fig. 1.
En el caso de que el vector densidad de corriente 
sea homogéneo y constante (en el tiempo) a todo lo largo del conductor, entonces, el flujo o la intensidad de corriente no varía con el tiempo. En consecuencia, la intensidad de corriente se puede expresar matemáticamente, en función del módulo de la densidad de corriente y el área transversal por el que fluye la carga como sigue,
I = js
Donde j tiene por expresión j = ρv, lo que implica que la intensidad de corriente se expresa,
I = \rho \, v_{arrastre}\, s
Y como se sabe, la rapidez de arrastre es,
v_{arrastre}\, =\, \frac{qE}{\beta },
donde β es la constante de proporcionalidad asociada a la fricción que depende del material. Al reemplazar la rapidez de arrastre en la expresión anterior se tiene,
I = \rho \left ( \frac{qE}{\beta } \right )s
Al despejar E de la expresión anterior se obtiene,
E = \left ( \frac{1}{s} \frac{\beta }{\rho q}\right )
Al multiplicar “E” por “L”, en los casos de sistemas homogéneos, aparece la relación entre la diferencia de potencial y la corriente eléctrica, en consecuencia, los demás términos de esta expresión matemática son constantes y se pueden reagrupar tal como sigue,
\Delta V = EL = \left ( \frac{L}{s} \frac{\beta }{\rho q}\right )I
Al centrar la atención sobre los términos dentro del paréntesis de la expresión anterior, es necesario destacar que:
- los términos β, ρ, q son constantes y dependen del material del cual está hecho el hilo conductor. Dichos términos constituyen lo que se conoce como resistividad eléctrica (r) y se expresa como sigue,
r = \frac{\beta }{\rho q}
lo anterior permite re escribir
\frac{L}{s}\frac{\beta }{\rho q}
de la siguiente forma,
r = r\frac{L}{s}
Fig. 2.
La última expresión se conoce como resistencia eléctrica (detalles sobre esta expresión se pueden ver en la figura 2), y depende de la geometría del conductor (expresada en función de la longitud “L” y de la sección transversal “s”) y las características del material conductor (expresada a través de “r”). Como consecuencia de lo anterior, se puede escribir EL, como sigue,
El = IR = jsR
Al despejar j, se obtiene la siguiente relación entre vectores,
\vec{j}\, =\, \frac{L}{sR}\vec{E}
Donde,
\frac{L}{sR}
representa la constante de proporcionalidad entre estos dos vectores. Dicha constante se conoce como “Conductividad eléctrica” y es independiente del campo eléctrico y de la densidad de corriente.
\sigma = \frac{L}{sR}
Al reemplazar R por sus valores correspondientes se obtiene una relación inversa entre la conductividad eléctrica y la resistividad eléctrica, que se expresa,
\sigma = \frac{1}{r}
Con lo que se puede volver a escribir la expresión que representa la relación entre la densidad de corriente y el campo eléctrico como sigue,
\vec{j} = \sigma \vec{E}
La última expresión representa el modelo “microscópico” para la ley de Ohm y expresa que, a mayor conductividad eléctrica de un material, mayor será la densidad de corriente a través de dicho material, para un mismo campo eléctrico. En el caso que la conductividad sea menor, es decir, que el material tiene alta resistividad eléctrica, menor será la densidad de corriente, para un mismo campo eléctrico. Y los materiales conductores que cumplen con esta relación de linealidad entre la densidad de corriente y el campo eléctrico se conocen como materiales óhmicos. Y su conductividad eléctrica es independiente tanto de la densidad de corriente, como del campo eléctrico.
Por último, recomendamos ver el video siguiente.